Los problemas diofánticos son una serie de rompecabezas no resueltos de la teoría de números que se remontan a hace 3700 años. Con el paso del tiempo, los matemáticos han ido socavándolos, y los últimos trabajos han logrado avances significativos en algunos de ellos y demostrado que otros siguen siendo tan irresolubles como siempre.

Los investigadores han recurrido a herramientas de la geometría para resolver estos problemas, cuyo nombre proviene de Diofanto (un matemático griego del siglo III) y que tratan de determinar las soluciones de ecuaciones polinómicas como xⁿ + yⁿ = zⁿ. El objetivo de los matemáticos es averiguar si esas ecuaciones tienen soluciones enteras o racionales. Por ejemplo, para x² + y² = z² existen infinitas soluciones de ese tipo. 

La geometría diofántica es el campo de las matemáticas que estudia la relación entre las propiedades de una ecuación relacionadas con la teoría de números, como sus soluciones racionales o enteras, y sus «propiedades geométricas, como la topología del conjunto de soluciones complejas de la ecuación», detalla David Corwin, matemático de la Universidad Ben Gurión del Néguev.

Es sorprendente «lo poco que sabemos sobre la geometría diofántica en comparación con otras áreas de las matemáticas», apunta Bjorn Poonen, matemático del Instituto de Tecnología de Massachusetts. Y pone un ejemplo: aunque los matemáticos saben que el número 20 puede escribirse como la suma de tres cubos (como en 3³ + 1³ + (−2)³ = 20), aún ignoran si es posible hacer lo propio con el 114.